Могу ли я как-то обязать их провести проверку двигателя эндоскопом?

Здравствуйте, Ольга!

Только в судебном порядке можно их заставить это сделать. Пишите претензию, потом подавайте иск в суд о защите прав потребителя, ссылаясь на закон и постановление Правительства по оказанию услуг ремонта автотранспорта. С учетом того, что сумма не маленькая, предлагаю вам нанять нормального юриста, чтобы на месте в суде помог вам. 

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в чате. Там же можно согласовать подготовку необходимых Вам документов.