Могут ли подать на меня в суд при таких обстоятельствах?

Виктор, если в вашем трудовом договоре есть пункт о материальной ответственности и вы подписывали сам договор о материальной ответственности, то надо смотреть его условия (есть полная материальная ответственность, а есть в пределах среднего заработка). Ниже — случаи полной материальной ответственности.

ТК РФ Статья 243. Случаи полной материальной ответственности

Материальная ответственность в полном размере причиненного ущерба возлагается на работника в следующих случаях:

1) когда в соответствии с настоящим Кодексом или иными федеральными законами на работника возложена материальная ответственность в полном размере за ущерб, причиненный работодателю при исполнении работником трудовых обязанностей;
2) недостачи ценностей, вверенных ему на основании специального письменного договора или полученных им по разовому документу;
3) умышленного причинения ущерба;
4) причинения ущерба в состоянии алкогольного, наркотического или иного токсического опьянения;
5) причинения ущерба в результате преступных действий работника, установленных приговором суда;

6) причинения ущерба в результате административного правонарушения, если таковое установлено соответствующим государственным органом;

7) разглашения сведений, составляющих охраняемую законом тайну (государственную, служебную, коммерческую или иную), в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, другими федеральными законами;

8) причинения ущерба не при исполнении работником трудовых обязанностей.

Материальная ответственность в полном размере причиненного работодателю ущерба может быть установлена трудовым договором, заключаемым с заместителями руководителя организации, главным бухгалтером.

Но у работодателя есть право на отказ от взыскания с работника всей суммы ущерба (статья 240 ТК РФ). 

Что касается вашего второго вопроса, ситуация — та же. Если ДТП совершено вами в рабочее время, то ответственность несёт ответственность юрлицо — то есть ваш работодатель, а вы — перед работодателем.