Может ли сотрудник банка открыть ИП по оказанию услуг аренды?

Анастасия, да, Вы вправе заниматься любой не запрещенной законом предпринимательской деятельностью. Ограничения установлены только для государственных служащих. Согласно Федеральному закону от 27.07.2004 N 79-ФЗ (ред. от 05.10.2015) «О государственной гражданской службе Российской Федерации»:

Статья 17. Запреты, связанные с гражданской службой
1. В связи с прохождением гражданской службы гражданскому служащему запрещается:
3) заниматься предпринимательской деятельностью лично или через доверенных лиц, а также участвовать в управлении хозяйствующим субъектом (за исключением жилищного, жилищно-строительного, гаражного кооперативов, садоводческого, огороднического, дачного потребительских кооперативов, товарищества собственников недвижимости и профсоюза, зарегистрированного в установленном порядке), если иное не предусмотрено федеральными законами или если в порядке, установленном нормативным правовым актом Российской Федерации или субъекта Российской Федерации в соответствии с федеральными законами или законами субъекта Российской Федерации, ему не поручено участвовать в управлении этой организацией;