Что мне делать в этой ситуации, как ускорить процесс?

согласно ст. 8 Федерального закона от 21.12.1996 N 159-ФЗ (ред. от 22.12.2014) «О дополнительных гарантиях по социальной поддержке детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей»:

«Детям-сиротам и детям, оставшимся без попечения родителей, лицам из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, которые не являются нанимателями жилых помещений по договорам социального найма или членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма либо собственниками жилых помещений, а также детям-сиротам и детям, оставшимся без попечения родителей, лицам из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, которые являются нанимателями жилых помещений по договорам социального найма или членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма либо собственниками жилых помещений, в случае, если их проживание в ранее занимаемых жилых помещениях признается невозможным, органом исполнительной власти субъекта Российской Федерации, на территории которого находится место жительства указанных лиц, в порядке, установленном законодательством этого субъекта Российской Федерации, однократно предоставляются благоустроенные жилые помещения специализированного жилищного фонда по договорам найма специализированных жилых помещений.

По заявлению в письменной форме лиц, указанных в абзаце первом настоящего пункта и достигших возраста 18 лет, жилые помещения предоставляются им по окончании срока пребывания в образовательных организациях, учреждениях социального обслуживания населения, учреждениях системы здравоохранения и иных учреждениях, создаваемых в установленном законом порядке для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, а также по завершении получения профессионального образования, либо окончании прохождения военной службы по призыву, либо окончании отбывания наказания в исправительных учреждениях.»

Финансирование предоставления жилья для вас это обязанность субъекта РФ в котором вы проживаете (где находится ваш детский дом).

Порядок предоставления такого жилья определяется законами так же Субъекта РФ.

В любом случае вы должны обратится с письменным заявлением о предоставлении квартиры в соответствующий отдел Администрации Субъекта РФ (как я догадываюсь в Вашем случае это Администрация Новосибирской области), адреса отделов социальной поддержки населения Новосибирсокй области посмотрите здесь: http://www.msr.nso.ru/page/1387

Если Вам кажется что процесс идет медленнее чем положено, напишите заявление в прокуратуру, это может помочь, но не гарантировано.