На каком основании они могут отказаться?

с учётом моего ответа выше далее:

Т.е. любая медицинская организация подпадающая под действие приведённого выше мной в предыдущем ответе федерального закона, имеет полное право выдавать справки и медицинские заключения.

Порядок их выдачи регулирует Приказ Минздрава РФ  от 14 сентября 2020 года N 972н   «Об утверждении Порядка выдачи медицинскими организациями справок и медицинских заключений», можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://docs.cntd.ru/document/566212790

Из Приказа следует:

1. Настоящий Порядок устанавливает правила выдачи медицинскими организациями справок и медицинских заключений ...

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учётом моих ответов выше далее:

В соответствии с положениями указанными в   Федеральном  законе  «Об образовании в Российской Федерации» от 29.12.2012 N 273-ФЗ Статья 28. Компетенция, права, обязанности и ответственность образовательной организации.

Из статьи следует:

6. Образовательная организация обязана осуществлять свою деятельность в соответствии с законодательством об образовании, в том числе:

 3) соблюдать права и свободы обучающихся, родителей (законных представителей) несовершеннолетних обучающихся,-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/552097cad5942f36c9484dbde7ebf92db1f783f3/

Вы вправе подать обращение в форме заявления в котором можете указать со ссылкой на приведенные мной выше положения законодательства РФ на то, что требуете принять прилагаемую к нему  справку, и дать ответ на обращения о её принятии либо отказе в этом, указать на то, что в случае незаконного и необоснованного отказа Вы обратитесь в прокуратуру, или в суд.

Обращение подаете в порядке предусмотренном Федеральным  законом  «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации» от 02.05.2006 N 59-ФЗ и его статьей 1. Сфера применения настоящего Федерального закона.

Из статьи 1 следует, что:

4. Установленный настоящим Федеральным законом порядок рассмотрения обращений граждан… распространяется… также на правоотношения, связанные с рассмотрением обращений граждан,…осуществляющими публично значимые функции государственными и муниципальными учреждениями, иными организациями и их должностными лицами.-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_59999/8bf514cf02b2bc03abb361625d55d47a4a534317/

Статья 4. Основные термины, используемые в настоящем Федеральном законе

3) заявление — просьба гражданина о содействии в реализации его конституционных прав и свобод...

Статья 7. Требования к письменному обращению-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_59999/c75556cf6fc05793e3c6315a7101fb59e6af9b02/

Статья 9. Обязательность принятия обращения к рассмотрению:

1. Обращение… подлежит обязательному рассмотрению.

Статья 10. Рассмотрение обращения

1) обеспечивает объективное, всестороннее и своевременное рассмотрение обращения, в случае необходимости — с участием гражданина, направившего обращение;

 4) дает письменный ответ по существу поставленных в обращении вопросов...

За нарушение этого федерального закона предусмотрена административная ответственность согласно статье КоАП РФ Статья 5.59. Нарушение порядка рассмотрения обращений граждан-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/d77345129355a19915d59a897cdff745a2a55258/

Проверкой по жалобам  занимается прокуратура.

Если будет необоснованный и незаконный отказ обратитесь в прокуратуру.

Свои уточнения Вы также можете писать мне в личный чат, пройдя по ссылке на мой личный профиль:https://pravoved.ru/lawyer/798541/

нажав кнопку «Общаться в чате».