И что делать если супервайзер не подписывает мое заявление, а отдел кадров не принимает мое заявление без подписи супервайзера

ТК РФ Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)  Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

вам надо почтой России направить работодателю по его юридическому адресу уведомление об увольнении;

заказное письмо, с уведомлением и Описью вложения;

трудовое законодательство требует только уведомить работодателя за две недели, а не отрабатывать этот период;

после чего на 15 день после даты указанной в вашем заявлении вы можете не выходить на работу, а работодатель обязан вас в этот день полностью рассчитать (выплатить зарплату, компенацию за отпуск, произвести другие обязательные выплаты);
всего вам дорого, с уважением Васина Татьяна