Могут ли уволить из-за отсутствия диплома?

Здравствуйте

В нашей стране много людей работают не по специальности и работают прекрасно. Вам необходимо посмотреть квалификационные требования для должности зав. библиотеки. Если вышестоящее руководство Вас назначило на эту должность, значит все нормально. С Вами заключили договор по этой должности. Прекратить его — это трудно сделать. Могут провести проверку и только рекомендовать Вашим руководителям о прекращении с Вами трудового договора.  Но Вам лучше пройти курсы по Вашей должности. Договоритесь с руководством об этом.

Удачи Вам

Добрый день! В соответствии со ст. 65 Трудового Кодекса РФ при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю, в том числе, документ об образовании и (или) о квалификации или наличии специальных знаний — при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки.
В связи с указанным, если работодателя устроил уровень Вашей квалификации для занятия должности зав.библиотеки, то он может и не потребовать диплом о специальном образовании.
По инициативе работодателя (ст. 81 Трудового Кодекса РФ) вас (согласно Вашей ситуации) могут уволить в двух случаях: 
1) несоответствие  занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации (пункт 3 указанной статьи)
2) представления работником работодателю подложных документов при заключении трудового договора (пункт 11)
Однако, как я понимаю, Вы предоставили действительный диплом об образовании и не вводили работодателя в заблуждение о наличии у Вас образования библиотекаря.
В связи с этим уволить могут по результатам аттестации.