Нужно ли в данном случае нарабатывать северные надбавки?

Да, это действительно так. Выплата надбавки лицам, работающим в районах Крайнего Севера и приравненным в ним местностях, предусмотрена положениями статьи 317 ТК РФ и статьи 11 Закона РФ от 19.02.1993 № 4520-1 «О государственных гарантиях и компенсациях для лиц, работающих и проживающих в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях». При этом, в части не противоречащей положениям Федеральным законам и Законам РФ применяется законодательство СССР и РСФСР. Так, Приказом Минтруда РСФСР от 22.11.1990 № 2 (ред. от 11.07.1991, с изм. от 01.12.2015) утверждена инструкция о порядке предоставления социальных гарантий и компенсаций лицам, работающим в районах Крайнего Севера и в местностях, приравненных к районам Крайнего Севера, в соответствии с действующими нормативными актами. Согласно пункта 22 данной инструкции предусмотрено уменьшение процентной надбавки за работу в районах Крайнего Севера.

За работниками предприятий, организаций и учреждений, уволившимися с прежней работы (за исключением увольнения за виновные действия), сохраняется непрерывный стаж работы, дающий право на получение надбавки к заработной плате за работу, если перерыв в работе не превышает сроков, установленных действующим законодательством.
Лицам, уволившимся в связи с выездом в другие местности после 1 января 1991 года с предприятий, организаций и учреждений, расположенных в районах Крайнего Севера и в приравненных к ним местностях, а затем возвратившимся на предприятия, в организации и учреждения этих же районов, ранее выслуженные ими надбавки к заработной плате за работу в этих районах уменьшаются в зависимости от перерыва в работе. Уменьшение производится в таком же порядке и размерах, как это предусмотрено за увеличение стажа работы статьей 1 Указа Президиума Верховного Совета СССР от 26 сентября 1967 года. Лицам, выслужившим в районах Крайнего Севера (где общий размер надбавок не может превышать 80%) надбавку к заработной плате более 60%, размер выслуженных надбавок уменьшается в порядке, обратном указанному: на 10% заработка за каждый год перерыва стажа до достижения 60% надбавки.
(в ред. Приказа Минтруда РСФСР от 11.07.91 N 77)

За работниками, уволившимися после 1 января 1991 года, сохраняется непрерывный стаж, дающий право на получение надбавок за работу в районах, расположенных в районах Крайнего Севера и местностях, приравненных к ним, если перерыв между днем увольнения и днем поступления на работу на предприятия, в организации и учреждения в этих районах не превышает сроков, установленных действующим законодательством. При превышении указанных сроков размеры надбавок за непрерывный стаж работы уменьшаются в порядке, предусмотренном в предыдущем абзаце.
Пример 1. Работник, имеющий стаж работы в районах Крайнего Севера 3 года 4 месяца, получающий надбавку в размере 60%, уволился после 1 января 1991 года в связи с истечением срока трудового договора (п. 2 ст. 29 КЗоТ РСФСР) и поступил вновь на работу в том же районе через четыре месяца. Учитывая, что непрерывный трудовой стаж для получения льгот у такого работника сохраняется в течение двух месяцев, а перерыв составил четыре месяца, уменьшение надбавок должно производиться за два месяца в размере 10%. Таким образом, после поступления на работу работник будет получать 50%н-ую надбавку, а через два месяца — 60%н-ую надбавку.
(абзац введен Приказом Минтруда РСФСР от 11.07.91 N 77)

Пример 2. Работник, уволенный в связи с сокращением штатов (п. 1 ст. 33 КЗоТ РСФСР) после 1 января 1991 года, на день увольнения имел надбавку за работу в районах Крайнего Севера в размере 80%. Перерыв между днем увольнения и днем поступления на работу составил 1 год 6 месяцев. Учитывая, что непрерывный стаж для получения льгот сохраняется у него в течение шести месяцев, уменьшение надбавок должно производиться за 1 год, в размере 10%. Таким образом, после поступления на работу работнику должна выплачиваться 70%н-ая надбавка, через год работы — 80%н-ая.
(абзац введен Приказом Минтруда РСФСР от 11.07.91 N 77)

Пример 3. Работник в возрасте до 30 лет, имеющий за год непрерывной работы в районах Крайнего Севера в соответствии с подпунктом «е» пункта 1 Постановления Совета Министров РСФСР от 22 октября 1990 г. N 458 надбавку в размере 40%, увольняется в январе 1992 года по собственному желанию без уважительной причины. На новое место работы в том же районе работник поступает через четыре месяца. Учитывая, что непрерывный стаж для получения льгот сохраняется у него в течение трех недель, уменьшение надбавок должно производиться за 3 месяца 1 неделю в размере 10% (т.е. в таком же порядке и размерах, как это предусмотрено за увеличение стажа Указом от 26 сентября 1967 года). После поступления на работу работнику должна выплачиваться 30% надбавка, через 3 месяца 1 неделю — 40%, дальнейшее начисление надбавок должно производиться согласно указанному Постановлению.
(абзац введен Приказом Минтруда РСФСР от 11.07.91 N 77)

Порядок уменьшения надбавок к заработной плате, предусмотренный вторым и третьим абзацами настоящего пункта, распространяется также на членов кооперативов, уволившихся с работы в кооперативе после 1 января 1991 года, для которых работа в кооперативах являлась основной, при поступлении на работу в качестве рабочего или служащего на государственное предприятие, в организацию.

Таким образом, уменьшение процентной надбавки за работу в районах Крайнего Севера основано на действующих нормах трудового права и является законным.