Можно ли обязать его снимать квартиру и обеспечить условия для проживания ребёнка полностью, либо по выходным и каникулам, либо имеет ли он право на получение субсидий или жилья от государства?

Отец моего ребенка не имеет своего жилья. Можно ли обязать его снимать квартиру и обеспечить условия для проживания ребёнка полностью...

 То обстоятельство, что у отца ребенка нет своего жилого помещения, совсем не означает, что он обязан именно снимать жилое помещение для себя и для ребенка.

Да, у отца (впрочем, как и у матери) ребенка есть обязанность обеспечивать ребенка, в том числе и жилым помещением.

Но обязать отца снимать жилое помещение и тем самым обеспечивать ребенка жилым помещением нельзя.

Если, к примеру, у матери ребенка есть жилое помещение (не обязательно на праве собственности, но и, например, по договору социального найма, по иным основаниям), то нельзя возложить только на отца ребенка обязанность обеспечивать ребенка жильём.

У обоих родителей это равные обязанности.

И если, например, жилое помещение есть у матери ребенка и она обеспечивает его жилым помещением, а отец не может предоставить ребенку жилье, то даже суд вряд ли сможет возложить на него обязанность снимать жилое помещение с тем, чтобы отец там жил с ребёнком.

А мать, если она предоставляет ребёнку жилое помещение а отец не может этого (при раздельном их проживании), вправе обратиться в суд и потребовать с отца ребенка уплаты дополнительных расходов на ребенка.

В статье 86 Семейного кодекса РФ предусмотрено:

1. При отсутствии соглашения и при наличии исключительных обстоятельств (… отсутствие пригодного для постоянного проживания жилого помещения и другие обстоятельства) каждый из родителей может быть привлечен судом к участию в несении дополнительных расходов, вызванных этими обстоятельствами.

Порядок участия родителей в несении дополнительных расходов и размер этих расходов определяются судом исходя из материального и семейного положения родителей и детей и других заслуживающих внимания интересов сторон в твердой денежной сумме, подлежащей уплате ежемесячно.

… либо по выходным и каникулам

 Определить два мест жительства у ребёнка не получится. Должно одно постоянное место жительства.

Для того, чтобы обязать отца ребёнка забирать его на какое-то определенное время к себе (в его место жительства), при отсутствии на это согласия отца, необходимо обращаться в суд уже с иском об определении порядка общения отца с ребёнком, как родителя, проживающего отдельно от ребёнка.

При этом в ходе судебного разбирательства по такому делу суд будет обязывать орган опеки и попечительства выходить по месту жительства отца ребёнка, проверять жилищно-бытовые условия на предмет того, может ли там находиться, пусть даже временно, ребёнок, соответствует ли это жилое помещение интересам ребёнка, необходимым условиям для его воспитания, образования, учёбы, досуга и т.д.

Поэтому если у отца ребёнка будет съемное жилое помещение, то согласование (положительное заключение) органом опеки жилищно-бытовых условий жилого помещения отца, где будет временно находиться ребёнок, будет представляться более проблематичным, нежели, если бы у отац ребенка было свое жилое помещение (которое пусть даже не в его собственности, а, например, по договору социального найма).

либо имеет ли он право на получение субсидий или жилья от государства?

 Нет, само по себе то обстоятельство, что у гражданина есть ребёнок и он должен обеспечить его жилым помещением, не является основанием для постановки гражданина на учёт лиц, нуждающихся в предоставлении жилых помещений (не очередь нуждающихся в предоставлении жилья на условиях социального найма).

Для постановки на такой учёт должны приниматься во внимание не только такие факторы, как не только нуждаемость, но и малообеспеченность.