Какие действия в этом случае, так как на 15й день необходимо выйти на новую работу

Здравствуйте,

В соответствии со ст.80 ТК РФ по истечении срока предупреждения Вы имеет право прекратить работу. То есть то, что заявляет работодатель

это ничего не значит, а «отпустить» соглашаются только при выполнении определенных задач за эти две недели

неправомерно и не соответствует нормам ТК РФ.

При этом, в последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку или предоставить сведения о трудовой деятельности (статья 66.1 ТК РФ) у данного работодателя, выдать другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Если работодатель не выдаст Вам в последний рабочий день документы и не произведёт расчёт, то направьте под входящий претензию с требованием произвести с Вами расчёт и выдать документы, так как срок предупреждения истёк. Также Вы можете обратиться за защитой своих прав в трудовую инспекцию, в суд.

в случае, если в эти две недели был открыт больничный, имеет ли работодатель право задержать сотрудника на отработке на количество дней больничного?

Не имеет такого права. Если в этот период Вы будете находиться на больничном, Вас все равно должны уволить в сроки, когда заканчивается срок предупреждения.

Вы также можете ознакомиться с разъяснения Роструда по этому вопросу

xn--80akibcicpdbetz7e2g.xn--p1ai/questions/view/75519#:~:text=%D0%9E%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%3A,%D1%8F%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D1%83%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83%20%D0%B6%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8E.

Добрый день! Если Вы предупредили работодателя за 2 недели до увольнения, то не уволить Вас работодатель не имеет права (абз.1 ст.80 ТК РФ).

Также, время больничного засчитывается в данный период, продлевать работу на время больничного работодатель не имеет права. Больничный лист работодатель обязан оплатить  и в течение 30 дней после увольнения:

В соответствии со ст.5 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством» 

листок временной нетрудоспособности оплачивается 

… а также в случаях, когда заболевание или травма наступили в течение 30 календарных дней со дня прекращения указанной работы ..https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_64871/01bc965afc6b74e1a2c19764348e0ece4f45b741/

Если Вы написали заявление за две недели и ушли на больничный, то время больничного также учитывается, а в период нетрудоспособности не допускается увольнение работника ( абз.6 п.14 ст.81 ТК РФ).