Что будет если не ехать в отдел кадров и не писать заявление на увольнение?

Здравствуйте. По сути это Вам ничем не грозит, если 

Трудовой договор был подписан, но даты нигде не проставлялись.Трудрвую книжку свою не предоставляла

Ольга

то есть записи об увольнении вообще в принципе никакой не будет. Так что трудовую Вы себе никак не испортите.  Постановление Правительства РФ от 16.04.2003 N 225 (ред. от 25.03.2013) «О трудовых книжках» (вместе с «Правилами ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей»)

35. При увольнении работника (прекращении трудового договора) все записи, внесенные в его трудовую книжку за время работы у данного работодателя, заверяются подписью работодателя или лица, ответственного за ведение трудовых книжек, печатью работодателя и подписью самого работника (за исключением случаев, указанных в пункте 36 настоящих Правил).

А записей у Вас и не будет по сути

Здравствуйте, в соответствии со статьей 80 ТК РФ, работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Учитывая, что трудовая книжка находится у вас на руках и записи в ней нет, а так же принимая во внимание ваш не долгий срок работы,  считаю в вашем случае ответсвенности не будет.