Обязательно ли писать заявление об увольнении по собственному желанию?

Здравствуйте, Олег.

Нет, заявления об увольнении писать не нужно:

О прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения, за исключением случаев, когда истекает срок действия срочного трудового договора, заключенного на время исполнения обязанностей отсутствующего работника.

(ст. 79 ТК РФ).

Тем более, что основанием для увольнения в Вашем случае будет не собственное желание, а истечение срока трудового договора.