Может ли несовершеннолетний оформить доверенность на подачу документов в ВУЗ?

Добрый день, Антон. Если Вам от 14 до 18 лет, то Вы сможете с письменного согласия родителей оформить доверенность.

Статья 26 Гражданского кодекса РФ:

Несовершеннолетние в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет совершают сделки, за исключением названных в пункте 2 настоящей статьи, с письменного согласия своих законных представителей — родителей, усыновителей или попечителя.
Сделка, совершенная таким несовершеннолетним, действительна также при ее последующем письменном одобрении его родителями, усыновителями или попечителем.