Может ли работник бюджетной организации совмещать платный и бесплатный кружок?

Руководитель не против. Но как это правильно оформить, нужно ли заключать доп соглашение к договору или составлять еще один договор? В штатном расписании нет такой должности, соответственно договор о совмещении должностей мы составить не можем. И какая статья говорит о том, что точно нельзя в рабочее время предоставлять платные услуги? 

О том, что Вы не можете заниматься другой работой кроме основной своей деятельности во время рабочего времени говорит Ваш Трудовой договор. Что касается необходимости заключать доп. соглашения, то Вы же не в рамках своего Трудового договора будете заниматься дополнительной работой, а в своих личных финансовых интересов. Тут Вы просто можете напрямую заключать гражданско-правовой договор с родителями детей которые будут у Вас заниматься. Опять же если Вам руководитель позволит использовать для этого площади Вашего учреждения.