Как заставить сына оплатить задолженность по квартире?

А если наследник (сын собственника) не принял, но и не отказался от наследства. Что делать в этом случае?

Ожидать истечения срока, установленного для вступления в наследство (6 месяцев), после чего, решать вопрос в претензионном, и, если потребуется, в судебном порядке. 

Отдельно обращу Ваше внимание на ст. 31 ЖК РФ:

К членам семьи собственника жилого помещения относятся проживающие совместно с данным собственником в принадлежащем ему жилом помещении его супруг, а также дети и родители данного собственника. Другие родственники, нетрудоспособные иждивенцы и в исключительных случаях иные граждане могут быть признаны членами семьи собственника, если они вселены собственником в качестве членов своей семьи.
Члены семьи собственника жилого помещения имеют право пользования данным жилым помещением наравне с его собственником, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи. Члены семьи собственника жилого помещения обязаны использовать данное жилое помещение по назначению, обеспечивать его сохранность.
Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи собственника жилого помещения несут солидарную с собственником ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования данным жилым помещением, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи.