Может ли солдат срочник после трёх месяцев службы заключить контракт на год?

Нет, не может.

Статья 8. Порядок заключения первого контракта

5. Первый контракт о прохождении военной службы заключается на следующие сроки:
а) с военнослужащим, проходящим военную службу по призыву, или иным гражданином, поступающим на военную службу на воинскую должность, для которой штатом предусмотрено воинское звание солдата, матроса, сержанта, старшины, — на два либо на три года по выбору гражданина;