Есть ли сроки давности по задолженности у судебных приставов?

Да, в исполнительном производстве есть такое понятие, сроки установлены данной статьей:

Федеральный закон
«Об исполнительном производстве»

Статья 21. Сроки предъявления исполнительных документов к исполнению

1. Исполнительные листы, выдаваемые на основании судебных актов, за исключением исполнительных листов, указанных в частях 2, 4 и 7 настоящей статьи, могут быть предъявлены к исполнениюв течение трех лет со дня вступления судебного акта в законную силу. Исполнительные листы, содержащие требования о возвращении на основании международного договора Российской Федерации незаконно перемещенного в Российскую Федерацию или удерживаемого в Российской Федерации ребенка, предъявляются к исполнению в течение одного года со дня вступления в законную силу судебного акта.
(в ред. Федеральных законов от 05.05.2014 N 126-ФЗ, от 08.03.2015 N 57-ФЗ)
2. Исполнительные листы, выдаваемые на основании судебных актов арбитражных судов, по которым арбитражным судом восстановлен пропущенный срок для предъявления исполнительного листа к исполнению, могут быть предъявлены к исполнению в течение трех месяцев со дня вынесения судом определения о восстановлении пропущенного срока.
3. Судебные приказы могут быть предъявлены к исполнениюв течение трех лет со дня их выдачи.
4. Исполнительные документы, содержащие требования о взыскании периодических платежей, могут быть предъявлены к исполнениюв течение всего срока, на который присуждены платежи, а также в течение трех лет после окончания этого срока.
5. Удостоверения, выдаваемые комиссиями по трудовым спорам, могут быть предъявлены к исполнению в течение трех месяцев со дня их выдачи.
6. Оформленные в установленном порядке акты органов, осуществляющих контрольные функции, о взыскании денежных средств с приложением документов, содержащих отметки банков или иных кредитных организаций, в которых открыты расчетные и иные счета должника, о полном или частичном неисполнении требований указанных органов в связи с отсутствием на счетах должника денежных средств, достаточных для удовлетворения этих требований, могут быть предъявлены к исполнению в течение шести месяцев со дня их возвращения банком или иной кредитной организацией.
6.1. Оформленные в установленном порядке акты органов, осуществляющих контрольные функции, о взыскании денежных средств без приложения документов, указанных в части 6 настоящей статьи, могут быть предъявлены к исполнению в течение шести месяцев со дня их вынесения.
(часть 6.1 введена Федеральным законом от 21.12.2013 N 358-ФЗ)
7. Судебные акты, акты других органов и должностных лиц по делам об административных правонарушениях могут быть предъявлены к исполнению в течение двух лет со дня их вступления в законную силу.
(в ред. Федерального закона от 21.04.2011 N 71-ФЗ)
8. Сроки предъявления к исполнению исполнительных документов, не указанных в настоящей статье, устанавливаются в соответствии с федеральными законами.
9. В случае, если федеральным законом или судебным актом, актом другого органа или должностного лица должнику установлен срок для исполнения требований, содержащихся в исполнительном документе, или предоставлена отсрочка или рассрочка исполнения указанных требований, течение срока предъявления такого исполнительного документа (исключая исполнительный документ о взыскании штрафа, назначенного в качестве наказания за совершение преступления) начинается после дня окончания срока, установленного для исполнения должником требований, содержащихся в исполнительном документе, предоставления ему отсрочки или рассрочки исполнения указанных требований.
(часть 9 введена Федеральным законом от 08.03.2015 N 57-ФЗ)

Уважаемый Кирилл! 

      Коллега выше указал на законодательную базу которой руководствуются приставы в своей работе. Действительно существует 3-х летний срок исковой давности исполнительного документа, НО этот срок прерывается если исполнительный документ находился на исполнении. После того как пристав окончил производство, отчитавшись, что ничего у Вас не нашёл, на исполнительном документе ставится число когда было окончено производство и документ направляется взыскателю. После чего у взыскателя вновь имеется 3-х летний срок предъявления такого документа в службу приставов. 

      Если такой отметки нет и у взыскателя нет копий постановлений судебного пристава подтверждающих факт того что производство вообще велось, то да — 3-х летний срок после выдачи исполнительного листа будет окончательным. 

      Так что тут могут быть особенности именно в действия приставов. На Вашем же примере: у пристава Соловьевой с сентября 2015 по октябрь 2016г. находилось административное дело в отношении Вас и она спокойно оканчивает производство по ч.1 п.4 ст. 46, а именно: 

если у должника отсутствует имущество, на которое может быть обращено взыскание, и все принятые судебным приставом-исполнителем допустимые законом меры по отысканию его имущества оказались безрезультатными

а вот её коллеги Смирнов, и Гачина не взяли на себя смелости окончить свои производства (у Гачиной скорее всего какой-то налог) и продолжают искать Ваше имущество и доходы. Если ни того, ни другого у Вас нет, то предположительно к концу года данные производства будут также окончены.

Желаю удачи.