Перейдут ли эти долги следующему квартиросъёмщику или наследнику?

В первую очередь необходимо выяснить кто является ответственным квартиросъёмщиком. Если договор был заключён между вашим дедом и муниципалитетом, то нужно выяснить, подавались ли им документы на приватизацию. В целом, по ситуации ля неприватизированных квартир механизм наследования не предусмотрен, поскольку такая квартира не находится в собственности у проживающих в ней, а предоставлена им по договору социального найма. 

Вам необходимо направить копию свидетельства о смерти должника в УК (или в РСО, если заключен прямой договор).

В случае, если УК, не зная о смерти должника, подаст заявление в суд о взыскании с него денежных средств, то суд, получив соответствующую информацию, вынесет Определение о прекращении производства по делу в связи со смертью ответчика. И управляющая компания спишет долги.