Как исправить имя Артем( так записано в свидетельстве о рождении) на Артём?

Здравствуйте Наталья

<Письмо> Минобрнауки России от 01.10.2012 N ИР-829/08 
В Минобрнауки России неоднократно поступали обращения граждан по вопросу о правописании букв «е» и «ё» при оформлении документов, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации, изготовлении бланков свидетельств о государственной регистрации актов гражданского состояния, оформлении документов об образовании, выдаваемых имеющими государственную аккредитацию образовательными учреждениями, а также других документов.
Федеральным законом от 1 июня 2005 г. N 53-ФЗ «О государственном языке Российской Федерации» (далее — Закон) закреплено право граждан Российской Федерации на пользование государственным языком Российской Федерации.
Статья 3 Закона определяет сферы использования государственного языка Российской Федерации, к которым относится в числе прочего оформление документов, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации, изготовление бланков свидетельств о государственной регистрации актов гражданского состояния, оформление документов об образовании, выдаваемых имеющими государственную аккредитацию образовательными учреждениями, а также других документов, в том числе в части правописания имен собственных.
Закон обязывает при заполнении документов использовать нормы современного русского языка и правила русской орфографии и пунктуации.
Во исполнение постановления Правительства Российской Федерации от 23 ноября 2006 г. N 714 «О порядке утверждения норм современного русского литературного языка при его использовании в качестве государственного языка Российской Федерации, правил русской орфографии и пунктуации» и на основании рекомендаций Межведомственной комиссии по русскому языку (протокол от 29 апреля 2009 г. N 10) приказом Минобрнауки России от 8 июня 2009 г. N 195 утвержден список грамматик, словарей и справочников, содержащий нормы современного русского литературного языка при его использовании в качестве государственного языка Российской Федерации (зарегистрирован Минюстом России 6 августа 2009 г., регистрационный N 14483).
Кроме того, в настоящее время применяются Правила русской орфографии и пунктуации, утвержденные в 1956 году Академией наук СССР, Министерством высшего образования СССР и Министерством просвещения РСФСР (далее — Правила), в которых указано, что буква «ё» пишется в случаях, когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, либо когда необходимо указать произношение малоизвестного слова.
Ранее Министерством в региональные органы исполнительной власти направлялись методические рекомендации по употреблению буквы «ё» в написании имен собственных (письмо от 3 мая 2007 г. N АФ-159/03), в которых обращалось внимание на то, что причиной искаженных записей в паспорте и других документах («е» вместо «ё» и наоборот) может являться несоблюдение установленного Правилами требования обязательного использования «ё» в случаях, когда возможно неправильное прочтение слова. Имена собственные (в том числе фамилии, имена, отчества) относятся к этому случаю, поэтому применение буквы «ё» в них должно быть обязательным.
Судебная практика по данному случаю исходит из того, что на основании Правил написание букв «е» и «ё» приравнивается. Написание буквы «е» вместо «ё» и наоборот в фамилии, имени и отчестве не искажает данных владельца документов, при условии, что данные, на основании которых можно идентифицировать лицо в таких документах, соответствуют.
Кроме того, судебный прецедент при рассмотрении дел о внесении исправлений или изменений в записи актов гражданского состояния разрешается в пользу заявителя (истца).

Подайте заявление в ЗАГС если не исправят то уже в суд необходимо. 

За внесение изменений в запись акта гражданского состояния, включая выдачу свидетельства, взимается госпошлина в размере 650 руб., если вы не освобождены от ее уплаты (п. 2 ст. 333.18 НК РФ.

Надеюсь смог вам помочь 

С уважением Давидьянц А.Г.