Сможет ли он прописать в эту квартиру детей?

Здравствуйте!

Если покупка будет в браке, такое имущество считается совместным независимо от того, на кого имущество оформлено. Отсутствие у мамы работы на это никак не влияет.

в первоначальный взнос вложить мамины деньги

Рекомендую эти деньги проводить через отдельный банковский счет. Это позволит в случае судебного спора доказать историю происхождения денег, что может быть очень выгодно при разделе имущества. 

Если родители состоят в официальном браке, то любое имущество, в т.ч. недвижимое, купленное в период брака на общие средства супругов, будет по смыслу ст. 34 СК РФ являться их общей совместной собственностью независимо от того, на кого из супругов будет оформлено право собственности в ЕГРН.

Если супруги хотят изменить режим общей совместной собственности, следует заключить брачный договор, который подлежит обязательному нотариальному удостоверению в соответствии со ст. 42 СК РФ, и в нем установить иной режим общей собственности на приобретаемое в браке имущество (например, долевой или личной собственности).

Учитывая, что часть средств получена Вашей мамой по наследству, эти денежные средства являются ее личным имуществом, не являются общими средствами супругов по смыслу ст. 34 СК РФ, при покупке общей квартиры с использованием личных средств одного из супругов имеет смысл составить брачный договор и установить режим долевой собственности на данную квартиру с определением долей каждого из супругов на нее.

Если родители не в браке, тем более не следует предоставлять свои личные средства второму родителю для покупки квартиры на его имя, т.к. на такое имущество режим совместной собственности супругов не распространяется, т.е. имущество по умолчанию принадлежит тому, на чье имя оно зарегистрировано в ЕГРН.

В этом случае надо сразу выступать в договоре купли-продажи на стороне покупателя обоим родителям с оформлением общей долевой собственности на квартиру.