И в каком случае работодатель может отказать мне в этой просьбе?

Здравствуйте, Татьяна! 

В гражданском законодательстве РФ есть положения об охране изображения гражданина — ст. 152.1. В соответствии с ними, Вы можете попросить удалить изоражение, если не давали согласия на его использование. Согласие письменное или из обстановки. Если Вы позируете, а потом выкладываете видео/фото сами в соц. сети, то в некоторых случаях это может быть расценено как согласие на использование изображений, следующее из обстановки (но не факт, что работодатель об этом знает, что может помочь при переговорах).

Кроме того, предполагается ряд исключений, когда согласие не требуется. Например, если Вы позировали за плату (и тому есть доказательства). 

Есть другая сторона вопроса. Принадлежность прав на сами фотографии, то есть вопросы авторских прав. Здесь возникает вопрос о том, кому принадлежат исключительные права на фото, для этого нужно понимать: кто делал фото и предусмотрено ли трудовым договором с этим лицом такая трудовая обязанность, или наличие гражданско-правового договора (подряда, услуг, авторского заказа или др.), урегулированы ли вопросы распределения прав.

Если Вы лично своими руками делали фото, в трудовом договоре нет такой обязанности (и такое обязательство нигде отдельно не зафиксировано  с указанием на распределение прав на результат), то велика вероятность, что исключительные права принадлежат Вам. В таком случае Вы можете не только просить удаления (в том числе средствами самой площадки), но и например, требовать компенсацию за нарушение Ваших прав (или пугать такой возможностью) в размере от 10 тыс. до 5 млн рублей за каждый случай нарушения (по общему правилу).

Таким образом,

1. Вы можете просить удаления фото на основании ст. 152.1; при отказе можно посмотреть возможности самой площадки по жалобе на такие фото.

2. Можно поразбираться в вопросах о том, кому принадлежат авторские права и использовать этот рычаг для воздействия.