Как доказать, что документы подавались?

Добрый день. 

В данном случае доказать что документы подавались можно только на том основании что командиром издан приказ о выплате поднаема., а следовательно воинское должностное лицо проверило обоснованность данной выплаты и назначило ее.

Исходить так же следует из ст. 1109 ГК РФ

Не подлежат возврату в качестве неосновательного обогащения:
3) заработная плата и приравненные к ней платежи, пенсии, пособия, стипендии, возмещение вреда, причиненного жизни или здоровью, алименты и иные денежные суммы, предоставленные гражданину в качестве средства к существованию, при отсутствии недобросовестности с его стороны и счетной ошибки

в Вашем случае недобросовестности не было.

Насчет срока исковой давности, то полагаю он истек, так как он тотсчитвается по следующим правилам

1. Если законом не установлено иное, течение срока исковой давности начинается со дня, когда лицо узналоили должно было узнать о нарушении своего права и о том, кто является надлежащим ответчиком по иску о защите этого права.

(ст. 200 ГК РФ)

Поскольку командир обязан при издании приказа обеспечивать его соответствие законодательству, то о том, что нет оснований для выплаты он должен был узнать еще в 2013 году и срок истек.

Но если в суд подаст прокурор, то тут скорее всего суд не посчитает срок пропущенным