Может ли открывший в банке счет на имя несовершеннолетнего ребенка снять деньги с него?

Добрый вечер, Илья, нет, не может, могут только законные представители с согласия органов опеки, ведь согласно статьи 37 Гражданского кодекса РФ:

2. Опекун не вправе без предварительного разрешения органа опеки и попечительства совершать, а попечитель — давать согласие на совершение сделок по отчуждению, в том числе обмену или дарению имущества подопечного, сдаче его внаем (в аренду), в безвозмездное пользование или в залог, сделок, влекущих отказ от принадлежащих подопечному прав, раздел его имущества или выдел из него долей, а также любых других действий, влекущих уменьшение имущества подопечного.

Согласно статье 28 ГК РФ это правило применяется и к родителям. А уж сторонний вноситель денег не может ими распорядиться, разве что взыскать в судебном порядке как неосновательное обогащение в порядке статьи 1102 ГК РФ.